Est-ce un problème de batterie pas assez chargée ou quelque chose d'autre ?

Oui, c'est le cas. Probablement une batterie un peu faiblarde et, avec le froid, cela n'arrange pas les choses.

Recharger la batterie permet de résoudre cela pendant un moment mais c'est probablement la batterie qui est en fin de vie (les batteries pour les voitures avec Stop&Start vieillissent plus vite).

Est-ce la batterie d'origine? Si oui, elle a donc plus de 7 ans donc je pense que ce n'est pas du luxe de prévoir de la remplacer.

J'ai essayer de faire une recharge avec un chargeur externe mais cela n'a rien changé.

Vu que tu dis cela, je me suis rappelé qu'il fallait que je débranche/rebranche un petit câble qui venait se connecter du côté de la borne + de la batterie pour récupérer le Stop&Start.